# CLASS-9TRIGONOMETRICAL RATIOS - PROBLEM & SOLUTION

Example.1)  In ABC in which ∠B = 90⁰, AB = 5 units and AC = 13 units, calculate –

(i) sin A

(ii) tan A

(iii) cosec² A - cot² A

(iv) cos C

(v) cot C

(vi) cosec C

Ans.) By Pythagoras theorem, we have –

BC = √(AC² - AB²) = √(13² - 5²) = √169 – 25

= √144 = √12²

= 12 cm

For ∠A, we have –

Base = AB, Perpendicular = BC, and Hypotenuse = AC

Perpendicular          BC          12

(i) sin A = --------------- = -------- = -------

Hypotenuse            AC          13

Perpendicular          BC         12

(ii) tan A = ---------------- = ------- = ------

Base                AB          5

1          13                        1           5

(iii) cosec A = ------- = -------  and  cot A = ------- = ------

sin A        12                       tan A       12

13             5

so, (cosec² A - cot² A) = {(------)² - (------)²}

12            12

(169 – 25)         144

= ------------ = ------- =  1

144             144

For, ∠C, we have –

Base = BC = 12 units, Perpendicular = AB = 5 units, and Hypotenuse = AC = 13 units

Base              BC          12

(iv) cos C = ------------- = -------- = -------

Hypotenuse          AC          13

Base              BC          12

(v) cot C = -------------- = ------- = -------

Perpendicular        AB           5

Hypotenuse            AC            13

(vi) cosec C = ---------------- = --------- = -------

Perpendicular           AB             5

3

Example.2) In a right ABC, if ∠A is acute and tan A = ------,

4

find the remaining trigonometric ratios of ∠A.

Ans.) Consider a ABC in which ∠B = 90⁰

For ∠A, we have –

BC = AB, Perpendicular = BC, and Hypotenuse = AC

Perpendicular         3

ten A = --------------- = -------

Base               4

BC         3

= ------- = ------

AB          4

Let, BC = 3x units and AB = 4x units

Then, AC =  √(AB² + BC²)

=  √{(4x)² + (3x)²} = √25x² =  5x units

Perpendicular          BC          3x         3

Now,  sin A = --------------- = -------- = ------ = ------

Hypotenuse           AC          5x         5

Base             AB          4x          4

cos A = ------------- = ------- = ------- = ------

Hypotenuse         AC          5x          5

1              1            5

cosec A = ---------- = -------- = -------

sin A           3/5           3

1              1            5

sec A = ---------- = -------- = -------

cos A          4/5           4

1              1            4

cot A = ---------- = -------- = -------    (Ans.)

tan A           3/4           3

√3

Example.3) If θ is an acute angle such that sin θ = -------,

2

then find the value of (cosec θ + cot θ)

Ans.)  Consider a △ABC in which ∠A = θ⁰, ∠B = 90⁰

Then, Base = AB, Perpendicular = BC, and Hypotenuse = AC

Perpendicular           BC          √3

sin θ =  ----------------- = -------- = -------

Hypotenuse             AC           2

Let, Perpendicular = BC = √3x and Hypotenuse = AC = 2x

So, Base = AB = √(AC² – BC²)

= √{(2x)²- (√3x)²}

= √(4x² - 3x²)

= √x² = x

Hypotenuse          AC           2x          2

cosec θ = --------------- = -------- = ------- = -------

Perpendicular          BC          √3x         √3

Base              AB          x           1

cot θ = -------------- = ------- = ------- = ------

Perpendicular         BC         √3x         √3

2          1          3

(cosec θ + cot θ) =  (------ + ------) = ------ =  √3        (Ans.)

√3         √3         √3

8 sin θ – 3 cos θ

Example.4) If 8 tan θ = 6, then find the value of (----------------)

8 sin θ + 3 cos θ

Ans.) If,   8 tan θ = 6

6

Then,  tan θ = -------

8

sin θ

8 (---------) - 3

8 sin θ – 3 cos θ                  cos θ

Now, (----------------) = [------------------------]

8 sin θ + 3 cos θ                   sin θ

8 (---------) + 3

cos θ

8 tan θ – 3                        sin θ

= ----------------     [ tan θ = -------- ]

8 tan θ + 3                        cos θ

Replacing the value of tan θ, and we get –

6

8 X ------ - 3

8

= ---------------------

6

8 X ------ + 3

8

6 – 3           3           1

= ---------- = ------- = -------     (Ans.)

6 + 3           9           3

Example.5) If, sin θ + cosec θ = 5, find the value of (sin² θ + cosec² θ)

Ans.)  sin θ + cosec θ = 5

=>   (sin θ + cosec θ)² = 5²     [squaring both the side]

=>   sin² θ + cosec² θ + 2 . sin θ . cosec θ = 25

[applying  (a + b)² = a² + b² + 2ab ]

1

=>  sin² θ + cosec² θ + 2 . sin θ. ------- = 25

sin θ

1

[ As we know, cosec θ = -------- ]

sin θ

=>    sin² θ + cosec² θ = 25 – 2

=>    (sin² θ + cosec² θ)  =  23         (Ans.)