# CLASS-9DENSENESS PROPERTY OF RATIONAL NUMBERS

DENSENESS PROPERTY OF RATIONAL NUMBER

Theorem – Between two rational numbers x & y, there is always a rational number

(a + b)/2 such that a < (a + b)/2 < b

Proof .- a < b =>  (a + a) < (a + b) &  (a + b) < (b + b)

=>  2a < (a + b)  &  (a + b) < 2b

=>  a < (a + b)/2 < b

Since the sum of two rational numbers is a rational number and the product of two rational numbers is a rational number.

So, (a + b)/2 is a rational number such that a < (a + b)/2 < b

By, the repeated use of the above property, we can say that there are infinitely many rational numbers between two rational numbers.

Example.1)  Find out three rational numbers between 5 & 7

Ans.)   5 < 7 =>  5  < (5 + 7)/2 <  7

=>  5 < 6 < 7

=>  5 < (5 + 6)/2 < 6 < (6 + 7)/2 < 7

=>  5 < 11/2 < 6 < 13/2 < 7

11        6        13

So, three rational number between 5 & 7 are ------, ------, ------

2         1        2

(Ans.)

Example.2)  Find out three rational numbers between 1/2 & 2/3

1          1           1         2           2

Ans.) 1/2 < 2/3  => ------ < ------ X ( ----- + ----- ) < ------

2          2           2         3           3

1           7           2

=> ------- < ------- < -------

2          12           3

1       1        1        7        7       1        7       2        2

=> ---- < ---- X (---- + ----) < ---- < ---- X (---- + ----) < ----

2       2        2       12      12       2        12      3        3

1          13          7           15          2

=> ------ < ------- < ------- < ------- < -------

2          24         12           24          3

11        6        13

So, three rational number between 5 & 7 are ------, ------, -------

2         1         2

(Ans.)

-3            1

Example.3) Find ten rational numbers between ------ and ------ by

4            6

the short cut method.

Ans.)  Short cut method -

LCM of 4 & 6 is 12

-3         -3          3         -9

So, ------- = ------ X ------ = -------

4           4          3          12

1          1          2          2

And, ------ = ------ X ------ = ------

6          6          2         12

-9         -8         -7        -6        -5         -4

Now, ------ < ------ < ------ < ------ < ------ < ------ <

12         12        12         12        12         12

-3        -2        -1              1          2          3

< ----- < ------ < ------ < 0 < ------ < ------ < ------

12        12        12             12         12         12

-9            2

Thus, ten rational numbers between ------ and ------

12           12

-8    -7     -6     -5    -4    -3     -2    -1           1      2

----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, ----, 0 , ----, -----

12     12    12     12     12    12     12    12         12     12

(Ans.)

Example.4) Find 9 rational numbers between 0 and 0.2

Ans.)  Short cut method –

Let a = 0, and b = 0.2, take n = 9

(b – a)        (0.2 – 0)        0.2

Use d = --------- = ---------- = ------- = 0.02

(n + 1)         (9 + 1)          10

Required rational number is -

=> (a + d), (a + 2d), (a + 3d), (a + 4d),………….., (a + 9d)

=>  0, (0 + 0.02), (0 + 0.04), (0 + 0.06), (0 + 0.08), (0 + 0.10),………….., (0 + 0.20)

=>  0, 0.02, 0.04, 0.06, 0.08, 0.1, 0.12, 0.14, 0.16, 0.18

So, 9 rational numbers between 0 and 0.2 are –

0.02, 0.04, 0.06, 0.08, 0.1, 0.12, 0.14, 0.16, 0.18     (Ans.)