CLASS-10
RATIO & PROPORTION - PROBLEM SOLVING BASED ON 'K'

PROBLEM BASED ON ‘K’ – Method


Example.1) If, a : b : : c : d, show that

(a + b) : (c + d) = √(a² + b²) : √(c² + d²)

Ans.) Since, a : b : : c : d

=> a : b = c : d, we have

       a          c

=> ------ = ------ = k  (say).

       b          d

Then, a = bk, and c = dk

Putting a = bk, and c = dk, we get

            (a + b)        (bk + b)

L.H.S = --------- = ----------

            (c + d)        (dk + d)

     b (k + 1)          b

= ------------ = ------

     d (k + 1)          d


            √(a² + b²)        √(b²k² + b²)

R.H.S = ------------ = -------------- 

            √(c² + d²)        √(d²k² + d²)

        [Putting a = bk, and c = dk, we get]

    b √(k² + 1)        b

= ------------ = -----

    d √(k² + 1)        d

so,    L.H.S = R.H.S

Hence, (a + b) : (c + d) = √(a² + b²) : √(c² + d²)      (Proven)



Example.2) If, a : b : : c : d, prove that

(abcd) (aˉ² + bˉ² + cˉ² + dˉ²) = (a² + b² + c² + d²)

Ans.) Since, a : b : : c : d

=> a : b = c : d, we have

       a          c

=> ------ = ------ = k (say).

       b          d

Then, a = bk, and c = dk

Putting a = bk, and c = dk, we get

L.H.S = (abcd) (aˉ² + bˉ² + cˉ² + dˉ²)

              1          1          1          1

= (abcd) (------ + ------ + ------ + ------)

              a²         b²        c²         d²

Putting a = bk, and c = dk, we get

                           1           1          1          1

= {(bk X b)(dk X d)} (------- + ------ + ------ + ------)

                          b²k²        b²       d²k²        d²


                   1 + k²       1 + k²

= (b²k X d²k) (-------- + --------)

                    b²k²         d²k²


                d²(1 + k²) + b²(1 + k²)

= (b²d²k²) {-----------------------}

                        b²d²k²

=   (1 + k²) (b² + d²)

And now from, R.H.S = (a² + b² + c² + d²)

= (b²k² + b² + d²k² + d²)          [Putting a = bk, and c = dk]

= b² (k² + 1) + d² (k² + 1)

= (k² + 1) (b² + d²)

So, L.H.S = R.H.S

Hence, (abcd) (aˉ² + bˉ² + cˉ² + dˉ²) = (a² + b² + c² + d²)    (Proven)



                      x              y              z

Example.3) If, --------- = --------- = ---------, 

                   (b – c)        (c – a)         (a – b)

prove that ax + by + cz = 0

                   x              y               z

Ans.) given, --------- = ---------- = ----------

                (b – c)         (c – a)          (a – b)

         x             y             z

let, -------- = -------- = -------- = k

      (b – c)        (c – a)       (a – b)

So, x = (b – c) k, y = (c – a) k, z = (a –b) k,

Now we will put the value of x, y, and z in the given equation ax + by + cz, and we get –

ax + by + cz = a (bk – ck) + b (ck – ak) + c (ak – bk)

= abk – ack + bck – abk + ack – bck

= 0             (Proven)

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